İlginç ve İğrenç Bir Soru

Balıkesir sokaklarında bir yaz günü avare avare dolaştığım güzel bir gün, bir matematikçi abim aradı beni. Tıpkı Sherlock Holmes'e bir dava geldiğinde heyacanlanması gibi ben de bir soru duyduğumda heyecanlanırım. Kulaklarımı dört açtım. Şöyle diyordu : "Pi yayınlarında ilginç bir soru var. Ben bir türlü içinden çıkamadım. Sen de bir bakar mısın " Anlaşılan öğrencinin biri sormuş, O da zor durumda kalmıştı. Pi Yayınları Matematik Soru Bankası ilk çıktığında içinde ipe sapa gelmez bir sürü soru olduğundan öğrencilerim arasında oldukça popüler olmuştu. Öss ile ilgisi olmayan bu tarz kitaplar eskiden oldukça pirim yapardı nedense. Bahsettiği soruya hemen gidip baktım. Şu şekilde idi :

-2 < a < 3 ve -5 < a + b < 6 ise, b aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(a) -8 < b < 2 (b) -8 < b < 8 (c) -2 < b < 8 (d) 0 < b < 8 (e) -3 < b < 3

Burada iç sesime kulak verelim. İlk bakışta bir problem görünmüyor. Klasik olarak şöyle bir bakıp -a nın aralığını oluşturup taraf tarafa toplarsak

-5 < a + b < 6
-3 < -a < 2
-8 < b < 8

bulunur. Buraya kadar bir sıkıntı yok. Fakat oda ne! Cevap olarak (e) şıkkı verilmiş. Acaba cevap anahtarı yanlış mı hazırlanmış. Fakat b nin aralığı (e) şıkkındaki gibi olsa a + b nin aralığı doğru çıkıyor. Fakat şu yıllardan beri yaptığımız çözümden bulduğumuz aralık neden sağlamıyor. Allah Allah... Buna nasıl bir açıklama getireceğiz. Bu kedi ise ciğer nerede, bu ciğer ise kedi nerede?

Bir Trigonometri Sorusu?

soru:
a € (π/2 , π)
tan 2a = 4 ise tan a = ?

çözüm 1:

Şekille çözüm yapılır.

tan a = (4 / 1+√17)
tan a = (√17 – 1) / 4 elde ediliyor.




çözüm 2:
(2.tan a) / (1 – [tan^2]a) = 4
2.tan a = 4 - 4.[tan^2]a............ tan a = x deyip bir tarafı sıfır yaparsak;
2x^2 + x – 2 = 0
x1 = (√17 – 1) / 4
x2 = (–√17 – 1) / 4

Bu soru ile ilgili olarak soracağımız nokta şudur ki: çözüm 1'de dik üçgen çizerek bulduğumuz sonuç neden yanlış? Ve çözüm 2 de iki sonuç çıkıyor bunlardan ikincisi doğru sonuç. O zaman neden iki sonuç çıkıyor?
Bir soru daha dik üçgen yöntemine güvenmeyecek miyiz?

DOMUZ GRİBİ VE ARTMA HIZI

Calculus

DAMA

İsrafilin suru na açıklama

Dudeney e çözüm

İsrafil'in Suruna Bir Açıklama

Şamil Abinin gönderdiği eğitici soru (hacmi sonlu, alnı sonsuz cisim: İsrafil'in Suru) üzerine bir açıklama denemesi yapmak istedim. Doğru yapamadıysam nasıl olsa Şamil Abi uyarır dedim.

Şimdi öncelikle bu İsrafil'in Surunu gerçekten çok etkileyici buldum. İlk anda çok şaşırtıcı hatta şok edici geliyor. Mantıklı açıklamasına gelince; şuradan başlayalım. Bir sonlu yüzey parçasının içerisine sonsuz çoklukta kesişmeyen eğriler çizilebilir. Bunun ispatı için bir dikdörtgen alırız. Bu dikdörtgenin alanı 2 br2 olsun. Bu dikdörtgenin sınırını çıkaralım. Alan yine 2 br2 olacaktır. Bu işlemi sonlu sayıda tekrar etsek (örneğin milyonlarca kere) alan yine 2 br2 olacaktır. Halbuki her keresinde 6 br uzunluğunda bir eğriyi bu 2 br2 lik alandan çıkarıyoruz. O halde a ve b sonlu sayı ise, a br2 – b br = a br2 olacağını söyleyebiliriz. Yani sonlu bir alandaki noktalardan sonsuz uzunluktaki bir eğrideki noktalara örten bir fonksiyon tanımlanabilir. O halde aynı durum bir üç boyutlu cismin yüzeyi için de geçerlidir. Yani sonlu bir hacimdeki noktalarından, sonsuz bir yüzeyin noktalarına tanımlanan bir fonksiyon örtendir. Bu durumda ne kadar küçük olursa olsun bir miktar boya ile sonsuz bir yüzey boyanabilmelidir. Örneğin 0,0000000001 br3 hacminde bir boyamız olsa, bununla bütün dünyanın yüzeyini, hatta eğer ister isek bütün güneş sistemindeki cisimlerin de yüzeyini boyayabiliriz. Özetle; sonlu bir eğriden sonsuz noktaya, sonlu bir yüzeyden, sonsuz eğriye, sonlu bir hacimden, sonsuz yüzeye örten fonksiyonlar tanımlanabilir. Burada sonlu hacimden (İsrafili Surunun hacmi π br^3) sonsuz alana örten fonksiyon tanımlanabilmesini, sonlu hacimli boyanın sonsuz alanlı yüzeyi boyaması olarak anlıyoruz. Ancak aşağıdaki yorumlarda da takip edeceğiniz üzere, sorunun cevabının bu olmadığını Şamil Hocamız söylemiştir. Bu durum aslında yukarıdaki çözümde bahsettiğimiz boyanın 0 br kalınlıkta olmasından kaynaklanıyor. Yani aslında hiç bir boya bir yüzeye sürüldüğünde 0 kalınlık olmaz. Yani bir yüzeye sürülen bir boyanın mutlaka bir kalınlığı vardır. Bunu göz önüne alarak bir çözüm daha göndermiştim. O çözüm yorumlarda var. Şamil hocamız bu çözümü kabul etmiştir çok şükür. Onu aynen yazıyorum: "Boyanın kalınlığına a>0 diyelim. Bu durumda israfilin suru üzerinde x-ekseninde sonsuza doğru giderken; seçilen her a>0 için, surun çapının a dan küçük olduğu bir x noktası bulunabileceğinden, böyle (kalınlığı olan) bir boya ile surun x noktasının sağında kalan yüzeyi boyanamaz. Yani sonsuz kısmı boyanamaz." Sorunun aslı şu linktedir: Hacmi sonlu, yüzey alanı sonsuz olan şekil. Şamil Abinin çözümü zaten hazırdı. O da tam çözümü yayınladı. O da işt bu linktedir: İsrafilin Suruna açıklama

Eğlence Matematiği

Hacmi sonlu yüzey alanı sonsuz olan şekil !..

Üçgen ve Dörtgenlerde Kavramlar

Basit bir konu ama:
Geometride bazı kavramların ilişkisini açıklamak için önemli. İki boyutlu şekillerden başlayalım.
Önce tanımlar:
Çokgenler: en az üç kenarı olan düzenli veya düzensiz kapalı düzlemsel geometrik şekiller.
Üçgen: üç kenarı olan kapalı düzlemsel geometrik şekildir.

• Eşkenar üçgen: her kenarı eşit olan üçgendir.
• İkizkenar üçgen: en az iki kenarı eşit olan üçgendir.
• Dar açılı üçgen: her açısı 90 dereceden küçük üçgendir.
• Geniş açılı üçgen: bir açısı 90 dereceden büyük üçgendir.
• Dik üçgen: bir açısı 90 derece olan üçgendir.

Söylenebilecekler:

1. her eşkenar üçgen bir ikizkenar üçgendir. (tanımdan anlaşılır)
2. bir üçgen birden fazla gruba girebilir. (ör: ikizkenar dik üçgen)
3. her üçgenin üç açısı vardır.
4. üçgenin iç açıları toplamı Euclides geometrisine göre tam olarak 180 derecedir. bu geometrinin dışında geometrilerde ise (ör: Riemann geometrisi) 180 dereceden büyük veya küçük olabilir.

Dörtgen: dört kenarı olan kapalı düzlemsel geometrik şekil.

• Yamuk: en az iki kenarı paralel bir dörtgendir.
• Paralelkenar: Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgenlerdir.
• Eşkenar dörtgen: dört kenarı eşit olan paralelkenardır.
• Dikdörtgen: Köşeleri dik olan paralelkenardır.
• Kare: tüm kenarları eşit olan dikdörtgendir.
• Deltoid: tabanları eşit iki ikizkenar üçgenin tabanlarından birleştirilmesiyle oluşan dörtgendir.

Söylenebilecekler:

1. Her kare bir dikdörtgen, her dikdörtgen bir paralelkenar, her parelelkenar bir yamuktur. O halde "her kare bir yamuktur önermesi" de doğrudur.
2. Her kare bir eşkenar dörtgen, her eşkenar dörtgen bir paralelkenar, her paralelkenar bir yamuktur.
3. Her kare bir eşkenar dörtgen, her eşkenar dörtgen bir deltoiddir, ancak kare veya eşkenar dörtgen olmayan deltoidler yamuk değildir.

Aşağıda dörtgenlerin kavram haritasını inceleyerek neyin ne olduğunu veya olmadığını görebilirsiniz.

Matematiksel Bir Oyun: “Dokuz Kumalak”

Dokuz kumalak adlı oyunun eski bir Türk zeka ve strateji oyunu olduğunu öğrenmiş bulunuyorum. Bu oyunun orijinalinde karşılıklı dokuzar çukur var. Birer de büyük çukur (hazine) bulunuyor. Her küçük çukura da dokuzar taş konularak karşılıklı iki kişi tarafından 81x2=162 taşla veya keçi pisliği ile (keçi pisliğine “kumalak” deniyormuş) oynanan bir zeka oyunu. Batıya gelindikçe çukur sayısı dokuzar yerine altışar olmuş. Çukurlara konulan taş sayısı da dokuzdan dörde inmiş. Adına da “mangala” denmiş. İşte mangala adıyla bu oyun Osmanlı’da oynanmış. 1970 lere kadar Türkiye’de de oynandığını rivayet edenler varmış. Şu anda Kazakistan’da bu oyun orijinalindeki gibi 9x2+2 çukurla ve 162 taşla oynanmaya devam ediyor. Kazakistan ve Kırgızistan bu oyunu 1990’dan beri yaygınlaştırıp teşvik ediyormuş. Ne de olsa Türk oyunu. Oyun aslında dünya çapında bilinen bir oyun. Bu oyunun değişik versiyonları mangala veya mankala adıyla çok yerde oynanıyor. Ama en gelişmiş versiyonu dokuz kumalak.
Bu oyunu koyun-keçi güderken vakit geçirmek isteyen Türk çobanlar bulmuş. İki kişi oturmuş. İkisi de önündeki toprağa dokuz küçük çukur (otağ) sıralayarak kazmış. Birer de büyük çukurlarını (ordu-karargah) küçük çukur sıralarının arasına kazmışlar. Her küçük çukura da dokuzar tane keçi pisliği (kumalak) atmışlar. Sonra başlamışlar oynamaya. Nasıl mı oynamışlar.

1. Önce biri önündeki dokuz çukurdan beğendiğinin içindeki tüm kumalakları avucuna toplamış. Sonra aldığı çukurdan başlayarak birer birer sağa doğru ilerleyerek her çukura birer kumalak bırakmış. Kendi çukurlarının en sağına ulaşınca rakibin karşıdaki çukurlarına atlayıp bu sefer de sola doğru ilerlemiş. Bu, saat yönünün tersi demek oluyor. En son kumalak bıraktığı çukurdaki kumalaklar, son durumda çift sayıya ulaşmışsa, çobanımız oradaki tüm kumalakları alıp kendi hazinesine koymuş.


2. Sıra 2. çobana geçince aynı işlemi o tekrarlamış. Yine son koyduğu rakip çukurda çift kumalak olunca o da o çukurdakileri ütmüş.
   
3. Oyun devam eder iken, eğer bir çobanın son kumalak koyduğu çukur 2+1=3 e ulaşmışsa o zaman istisnai olarak tek olmasına rağmen gene kumalakları ütmüşler. Hatta o çukuru da kendi kaleleri yapmışlar. Ancak bir oyuncu bir oyunda en fazla bir kaleye sahip olabilirmiş. Bu kale de rakibin dokuzuncu çukuru olamazmış. Ayrıca rakibin sahip olduğu kalenin numarasındaki kaleye de sahip olunamazmış (örnek rakip benim 3. çukurumu kale yaptıktan sonra ben artık onun 3. çukurunu kale yapamam. 9. çukurlar ise hiçbir zaman kale yapılamaz). Kale aldığımız çukur, artık bize çalışan bir memur gibidir. Kendisine düşen her kumalağı hemencecik bizim hazinemize boşaltıverir. Bu kale almaya Kazaklar “tuzdik” der.


4. Eğer çobanımız, içinde tek bir kumalak kalmış bir çukurdan başlarsa, yine onu alır fakat oyunun kısır döngüye girmemesi veya boş hamle olmaması için, onu aldığı çukura değil de bir sonraki çukura koyar.
   
5. Bir çobanın önündeki dokuz çukurun hiçbirinde kumalak kalmaz ise, oynayamayacak duruma geldiğinden oyun biter. Hazinelerdeki kumalaklar sayılır. Kimin hazinesinde çok kumalak varsa o kazanmıştır.
   Yukarıda tarifini verdiğim oyunun kurallarını Doç. Dr. Abdulvahap KARA’nın araştırmasından aldım. ( http://www.turkfolkloru.com/index.php?option=com_content&task=view&id=90&Itemid=2 )

Mankala uzmanları, bu oyun için, en az satranç kadar stratejik ve zeka gerektiren bir oyun diyorlar. Hatta Kasparov'un bu oyunun bir ustasına da yenildiği söyleniyor. Bu oyun kullanılarak çok sayıda matematik problemi oluşturulabilir.

Bu oyunu aşağıdaki linkten indirip oynayabilirsiniz:
http://www.lauppert.ws/files/win32/tkd_e.zip
Aşağıdaki linkten de togız kumalak oyununu bulup online oynayabilirsiniz:
http://www.iggamecenter.com/

Kaynaklar:

http://www.turkfolkloru.com/index.php?option=com_content&task=view&id=90&Itemid=2

http://mancala.wikia.com/wiki/Toguz_Kumalak
http://www.iggamecenter.com/info/en/toguzkumalak.html

eksi ile eksinin çarpımının artı olması, (-1).(-1)=1 ispatı

Matematikle uğraşanların iyi bildiği bir konudan bahsedeceğiz. Eksi ile eksinin çarpımı niçin artı olur?
Teorem: (-1).(-1)=+1
İspat: i. 1.1=1 olduğunu ispatlamaya gerek yok. Zaten bir tane bir, bir eder.
ii. (-1).(-1)=a olduğunu kabul edelim yani biz bu a sayısının kaç olduğunu arıyoruz.
iii. (-1).0=0 olduğu açıktır.
iv. (-1).(1-1)=0 olur...................(madde iii ve 1-1=0 olması gereği)
v. Bir üst maddede (-1) i toplama işlemine dağıtırsak; (-1).(1)+(-1).(-1)=0 elde edilir.
vi. -(1.1)+a=0 olur.......... (madde ii gereği)
vii. -(1.1)=-a => 1.1=a => 1=a => 1=(-1).(-1) elde edilmiş olur........(madde ii gereği a=(-1).(-1) dir).[]

İspat bitmiştir.

Bu ispatı şöyle de yapabiliriz:
(-1).(-1) = cis180.cis180 = cis360 = 1

Bir de şöyle bir örnekle işi somutlaştırıp akla yatırabiliriz:

telefon hattımıza şebekemiz her gün 10 kontör yüklüyor (+10)
biz de her gün 10 kontör konuşup harcıyoruz (-10). Bu durumda her gün, gün sonunda eldeki kontör 0 olur.

Şebekenin her gün yüklemesi +1 dir. Her gün 10 yüklemesi +1.10=10 dur. Mesela 2 gün yüklemesi (+2).(+10)=+20 olur.
Bizim her gün harcamamız da +1 iştir. Her gün 10 harcamamız +1.(-10)=-10 olur vs.

O zaman şebekenin yüklemesi 1 iş ise yüklememesi -1 iştir.
Bizim konuşmamız 1 iş ise konuşmamamız -1 iştir.

Şebeke 2 gün, günde yüklemesi gereken +10 kontörü yüklemese (yani -2 iş yapsa), biz de aynen konuşmaya devam etsek, -2.10=-20 kontör elimizde kalır.

Şebeke yüklemeye devam etse, ancak biz iki gün, konuşmasak (-2 iş) yani harcamamız gereken (-10) kontörü harcamasak, elimizde +20 kontör kalır. Yani (-2).(-10)=+20 olur.

0 Üzerine Söylenceler

0 (yani sifir) sayısının (gerçi sayı olduğu da çok tartışılmış ama) üzerine de söylenecek birşeyler olmalı.
0, uzun süre sayı olarak kabul edilmemiş. Günümüzde ise sıfır:
i) sayıdır
ii) doğal sayıdır
iii) çift sayıdır
iv) negatif veya pozitif değildir
v) çarpmada yutan, toplamada etkisiz elemandır
vi) a, sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere; 0/a = 0 , a/0 = sonsuz veya a/0 = - sonsuza yaklaşır. O halde a farklı 0 olduğunda a/0 için tanımsız demek uygun olur. Çünkü reel sayılarda a/0 sayısı yoktur ve bu kümede tanımsızdır.

soru: Bir sayı sıfıra bölününce neden tanımsızlık ortaya çıkar?
cevap: Aslında a farklı 0 o.ü. {lim (x giderken 0'a) [a/x]} = (+-)sonsuz'dur. Ama sayı bölü 0 tanımısızdır. Çünkü reel sayılarda tanımlı "sonsuz" veya "-sonsuz" diye bir sayı yoktur.

Matematik şarlatanlarının, sahte ispatlarında en sık kullandıkları yöntem vi. maddenin çaktırmadan ihlal edilmesinden ibarettir.

Örnek: Aşağıdaki ispatta (!) bir şarlatanımız 4=5 olduğunu ispatlamıştır güya.

2x2 = 2x2

Eşitliğin her iki tarafına 5 ekleyelim;

5+2x2 = 5+2x2

Eşitliğin her iki tarafını 5 ile çarpalım;

5[5+2x2] = 5[5+2x2]

Çarpmanın toplama üzerindeki dağılma özelliğinden faydalanıp parantezi açalım;

25+5(2x2) = 25 + 5(2x2)

Şimdi eşitliğin 25 leri bir tarafta, 5(2x2) leri bir tarafta toplayalım;

25-25 = 5(2x2)-5(2x2)

Sol tarafı 5 parantezine, sağ tarafı 2x2 parantezine alalım;

5(5-5) = (2x2)(5-5)

5-5 leri sadeleştirelim;

5=2x2

5=4

Yukarıdaki şarlatanlık şudur ki: kırmızı ile belirttiğim satırın üstündeki tüm satırlardaki işlemler doğrudur. Lakin 5-5 ler eşitliğin sağ ve solundan sadeleşmez. Çünkü zaten 5-5=0 dır. Eşitliğin her tarafını 0 a bölmek demek olur bu. Bölersiniz tamam. Ama çıkan sonuçlar reel sayılar kümesinde tanımsızdır. Yani solda 5, sağda 4 çıkacağını kimse bilemez demektir bu. Şarlatanlar da hep bu işlere sarılıp sahte ispatlar döktürür ve cahillere "bunlar matematiğin erişemediği yerler" veya "bu matematik yanlış lan" dedirtirler.

Aslında bu türden şarlatanlıklar bana şunu ispatlar:
Bir yanlış bazen öyle doğruların içine sarılıp, gizlenip sunulur ki; usta olmayan dikkatsiz bir göz o yanlışı doğru sanabilir.

Rasyonel Sayılar

Rasyonel sayılar kümesi büyük Q harfinin soluna bir çizgi çekilerek gösterilir. Soluna çizgi çekme imkanı yoksa (buradaki gibi) kalın punto ile yazılır.
Rasyonel sayılar, tanım:
Q={x: x=(a/b), a,b € Z} , yani; a ve b tamsayı olmak üzere, a bölü b şeklinde ifade edilebilen sayılara rasyonel sayı denir.

teorem1: Ardışık iki tamsayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır.
ispat: 0 ve 1 tamsayılarını alalım. 0 ve 1 arasında sonsuz tane basit kesir olduğunu ispatlarsak, o ve 1 arasında sonsuz tane rasyonel sayı olduğunu ispatlamış oluruz. (Çünkü basit kesirler rasyonel sayıdır ve 0 ile 1 arasındadır).
Bunun için n>0 ve n tamsayı olmak üzere n/(n+1) kesirini alalım. n yerine yazılacak sonsuz tane tamsayı için n/(n+1) kesiri basit kesirdir. O halde 0 ile 1 arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır.
k>0 ve k tamsayı olmak üzere; bulduğumuz her n/(n+1) sayısına k=1,2,3,4,... sayıları eklenerek, (1,2), (2,3), (3,4), ... (k,k+1), ... aralıkları arasında da sonsuz tane rasyonel sayı olduğu ispatlanmış olur.[]

teorem2: Farklı iki rasyonel sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır.
ispat: a,b,c,d € Z olmak üzere a/b , c/d rasyonel sayılarını alalım.
Bu sayıların paydalarını eşitleyelim, böylece a.d/b.d ve c.b/b.d rasyonel sayıları elde edilir.
i) a.d=c.b (paylar eşit) ise bu iki rasyonel sayı eşittir ki bu durumda bu sayılar farklı olmadığından teoremin metninde ifade edilen durumdan çıkmış olur.
ii) (a.d) < (c.b) ve bu ikisi ardışık değilse, [a.d/b.d]< [(a.d+1)/b.d]< [c.b/b.d] olacağından teorem ispatlanır. ( [(a.d+1)/b.d] sayısı da rasyonel sayıdır)
iii) (a.d) < (c.b) ve bu ikisi ardışık olsun. bu durumda kesirler 2 ile genişletilir ve [2.a.d/2.b.d]<[(2.a.d+1)/2.b.d]<[2.c.b/2.b.d] elde edilir ki bu durumda da teorem ispatlanır. ( (2ad+1)/2bd rasyonel sayıdır).[]

Teorem1 ile (0,1) aralığında ve tüm ardışık tam sayların arasında sonsuz tane rasyonel olduğunu gösterdik. Teorem2 ile de daha korkunç bir şeyi yani iki rasyonel sayı arasında da mutlaka bir rasyonel sayı olduğunu gösterdik.
Örneğin 2,27 sayısından sonra hangi rasyonel sayı gelir? sorusunun cevabı asla bilinemez. Cevap 2,28 değildir. çünkü 2,275 sayısı 2,27 den büyük 2,28 den küçüktür. Yanısıra cevap 2,275 de olamaz çünkü 2,27<2,271<2,275. size="1">(bu arada 2,2701 in 2,271 den küçük olduğunu anlayamadıysanız ilköğretim 4 seviyesindesiniz. Bu siteyi terk ediniz :)

Bir Müşkil Mesele: Bu arada bir arkadaş, aklınca farklı iki rasyonel sayı arasında bir rasyonel sayının bulunamadığı bir ters örnek göstererek, teorem2 yi çürüttüğünü zannetmiştir. Şöyle ki:

soru: 0,99999... rasyoneldir, 1 de rasyoneldir lakin 0,9999... ile 1 arasında kimse rasyonel sayı gösteremez. O halde teorem2 yanlış mıdır yoksa?
elcevap: Bu konudan daha evvel bahsetmiştim (bkz: 0,999...=1 konusu), bu arkadaş 0,9999...=1 olduğunu bilmiyor. Bir kere teorem "farklı iki rasyonel" der. Halbuki 0,999... ile 1 aynı sayıdır. Bir sayı ile kendi eşitinin arasında tabi ki başka sayı bulunamaz. Ayrıntılı bilgi için bakınız: 0,999...=1.

İrrasyonel sayılar, tanım:
Rasyonel olmayan ( a,b € Z olmak üzere a/b şeklinde ifade edilemeyen) sayılar irrasyonel sayıdır. İrrasyonel sayıların varlığı milattan önceki yıllarda ispatlanmıştır. karekök(2) sayısının rasyonel sayı olmadığının ispatı, irrasyonel sayıların varlığına yetmiştir.

teorem3: karekök(2) sayısı irrasyoneldir.
ispat: tersine karekök(2) rasyonel olsun.
bu durumda karekök(2) = a/b olacak şekilde a ve b, aralarında asal tamsayıları vardır...........(1)(aralarında asal olmasa bile, aralarında asal oluncaya kadar sadeleştirilebilir)
eşitliğinin her iki tarafının karesini alırız:
2 = (a^2)/(b^2)
2.(b^2) = (a^2) ................................(2) ye göre a^2 çifttir. a da çifttir. Çünkü ancak çift bir sayının karesi çifttir. Her tarafı 2 ile bölersek:
(b^2) = a.a/2 ....................................(3) e göre a/2 tek bile olsa diğer a çarpanı hala çift olacağından eşitliğin sağı çift bulunur. Bu durumda solu da çifttir.
b^2 çiftse b de çifttir ........................(4)
madde (2) ve (4) e göre a ve b çifttir. O halde aralarında asal değillerdir. Bu ise madde (1) ile çelişir. O halde karekök(2) nin rasyonel olması önermesi yanlıştır. karekök(2) irrasyonel sayısır.[]

Kök dışına çıkmayan her sayı, pi, e (logaritmadaki) gibi sayılar irrasyoneldir.
Devirli ondalık sayılar rasyoneldir, çünkü a/b şeklinde ifade edilebilirler.
İrrasyonel sayılarda virgülden sonraki kısım herhangibir sistematiğe bağlı olarak sürmez.
Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşim kümesi Reel sayılar olarak adlandırılır ve çift çizgili R ile gösterilir.

0 derece sıcaklığın 2 katı?

Bir gün bana bir öğrenci heyecanla şöyle bir soru sormuştu;
"hocem, bugün hava 0 derecedir, yarın hava sıcaklığı bu günkünün 2 katına çıkacağına göre yarın hava kaç derece olur?"
Aslında sorunun cevabını peşinen vermek gerekirse; "0 ın bir şeyin yokluğunu belirtmediği ölçüm birimlerinde, değerlerin katları alınamaz" demek gerekir.

Bunu biraz açıklayalım. Örneğin 0 derece değil de 23 dereceyi düşünün. 23 derecenin iki katı 46 derecedir. Ama fahrenayt cinsinden 23 derece = 74 fahrenayt tır ki 74 . 2 = 148 fahrenayt eder ki bu 46 dereceye karşılık gelmez.

Bunun sebebi 0 derecenin bir yokluk belirtmemesidir. 0 derecenin başlangıç alınması bir kabuldür.

Yıllarda da böyledir. Mesela bu yıl 2008. hicri olarak ise 1429.
Şimdi 2008 . 2 = 4016 ve 1429 . 2 = 2858 elde edilir. Ancak hicri 2858 yılı miladi olarak 4016 olamaz. Çünkü tarihlendirmelerde de 0 yılları birer kabuldür.

Ancak, ağırlık, uzunluk ölçülerinde öyle değildir. 0 kg demek ağırlığın olmadığını gösterir. 0 cm uzunluğun olmadığını gösterir ve bunlar kabul değildir. Onun için de katları alınabilir. Örneğin ben 25 cm uzunluğa karış adını versem,
150 cm = 6 karış olur.
150 . 2 = 300 cm dir ki gerçekten de 300 cm 12 karıştır, yani 6 karışın iki katı.
Bir örnek daha vereyim. ÖSS puanlamasında 300 puan alan bir öğrenci, 150 puan alan bir öğrencinin 2 katı kadar başarılı değildir. (Gerçekte çok daha fazla başarılıdır). vb...

pi=180 midir, yoksa pi=3,14... müdür?

pi sayısını bilmeyenimiz yoktur. Yani matematikle az çok ilgilenmişsek tabi. Bir de trigonometriyi öğrenince insan, aklına bir gün şu soru düşüverir:

"Bu güne kadar hep pi=3,14... deyu öğrenmiş idik, amma imdi öğretmenimiz pi'nin 180 olduğunu söyledi. Pi=180 ise, 180=3,14... gibi bir sonuç ortaya çıkmış olmaz mı?"

Esasen bu soruyu öğretmenine soran bir öğrenci, %97 ihtimalle doğru cevap alamayacaktır zira öğretmenlerin de çoğu bu sorunun cevabını bilmez. Bazı cehle düşmüş matematik öğretmenleri ise evveliyatında katlettikleri matematiğin kemiklerini sızlatırcasına;
"matematikte bazı kabuller vardır evladım"
"bunlar matematiğin açıklayamadığı kör noktalar"
"trigonometride pi=180 alınır, geometride pi=3,14 alınır yavrum, bi daha sormayın" vb cevaplar verirler.

Halbuse şu tanımları bir biliversek... Size, radyan ve derece tanımını vererek işe başlayayım. Radyan da Derece de açı ölçme birimidir bilesiniz.Yukarıda 180 derece=pi radyan olduğunu görüyoruz. Bu 180=pi anlamına gelmez. Yani birimler yok sayılamaz. Mesela bu şuna benzer. "1 kg = 1000 g" dediğimizde birimleri def edip "demek ki 1=1000 miş yaw" diyemeyiz.

"Yani pi=3,14... tür. pi = 180 yanlıştır. pi radyan = 180 derece doğrudur".

0,99999... = 1 üzerine

Devirli ondalık sayılarda pek çok öğrenci hatta öğretmen, 0,9999... değerini 1 den küçük zanneder. Zaten öğrencilerin böyle sanmasının nedeni de bu gibi öğretmenlerdir. Aslında 0,9999... devirli sayısı, hiç şüphe götürmeyecek şekilde 1 e eşittir. Yani bundan zerre kadar şüphe eden sonsuzluk kavramını ve matematiği gerçek manada kavrayamamıştır ve daha formül ezberleme aşamasındadır. Gerçi 0,9999... sayısının 1 den çok çok çok az küçük olduğunu, yani 1 olmadığını size ispatlamaya çalışan matematikçiler (!) görebilirsiniz bazen tabi ki ve size bu teoremlerini (!) ispatlarlar bile. İspatlarken yüz mimiklerini, vücut hareketlerini kullanıp, demagoji yöntemleriyle aklınıza yatıramadıkları zaman ise sesini yükseltme, sizinle dalga geçme, gerekirse "höt zöt" türünden küçük korkutmalar yöntemini ve en son "sen benden daha mı iyi bilcen lan" yöntemini kullanarak teoremlerini ispatlama çabasına girerler.

Tabi güzel MATEMATİKimizde böyle ispat yöntemleri yoktur. Teoremin ispatı aşağıdadır. İspat gayet, kısa, anlaşılır, şüphesiz ve estetik. Artık bundan sonra kim "0,99999... = 1 değildir, bu bir kabuldür" derse bilmeli ki matematikte öyle kabul olmaz. Buradaki kabul, bunu 1 den gayrı sayanın matematikçi kimliğinin zayıf kabul edilmesinden ibarettir.

Soru 1:

Cevap: Bu sorunun cevabı hiç bir şek ve şüphe olmaksızın 1 dir. 0 diyen matematikte sonsuzluk kavramını anlayamamıştır.

Soru 2:



Çözüm sağdadır...
Şimdi çözümden takip etmişsinizdir. x=4 elde ediyoruz. Yani o kesirin tam değeri 4 tür. Buna "yaklaşık" demek, kabul demek matematiği hançerlemektir.

Aynı mantık sonsuz kökler için de geçerlidir. Ayrıca serilerde de çıkan sonuçlar asla ve kat'a yaklaşık sonuç değildir. Tam sonuçtur ki aksini iddia eden matematikten anlamadığını iddiaetmektedir de farketmemektedir.

Bu arada çok sevgili Matematikçi abimiz Şamil Akçagil Hocamız da meseleyi teyid etmiş üstelik aşağıdaki bilgileri de eklemiştir ki kendisine teşekkür ediyorum.
Burada birinci limit 0 dır. İkincisi ise 1 dir. Sebebi aşikar olduğundan okuyucuya bırakolacaktı ancak hadi açıklayalım. 1. limit dışarda, içerde 0 ın sağında sonlu sayıda 9 var. o halde tamdeğeri 0 dır. 0 ın limiti 0 dır. 2. limitte ise n sonsuza gittiğinden, 0,9999... devirlisi elde edilir ki bu 1 dir. 1 in tam değeri de 1 dir.

Şamil Akçağıl, aşağıdaki soruyu sormaktadır: (O cevabını biliyordur. Herhalde bizim bunu öğrenmemizi istiyor. Gerçekten ilginç bir durum.)

devam edecek...

Matematiği Ayrıcalıklı Yapan Ne?

"Bilimlerin arasında matematiğin çok ayrı bir yeri vardır" sözünü sık sık tekrarlarlar. Ben de çok da düşünmeden o tekrarları yapanlardan biriyim aslında. Ama yine de kendime hep sorardım "acaba neden?" diye. Geçenlerde sebebi aklıma düşüverdi...

Bir kere diğer bilimlerde (veya sanat dallarında) ortaya konan bir çalışmada, çalışmanın kim tarafından yapılmış olduğu önemlidir. Bu; Tarih, Dil Bilim, Coğrafya, Etnoloji, Siyaset Bilimi, Ekonomi, Resim, Müzik, Hat, hatta bir ölçüde Fizik, Kimya, Biyoloji vs için böyledir. Örnek mi istiyorsunuz? Örnekleri aşağıda maddeliyorum, buyrun;

• Diyelim ki ben diyorum ki: "Vizigotlar ile Ostragotlar Alman milletini oluşturmuştur". Sonra da gerekçelerini açıklıyorum, ama, önce sorulan, bunun kim tarafından söylenmiş olduğu. Ben değil de bir Got uzmanı aynı gerekçeleri ileri sürerek bunu söyleseydi hemen kabul görecekti. Ama sırf söyleyenden dolayı bir hakikat güme gitti.
• Mesela ben bir soyut resim yaptım, satmaya çalışıyorum. Tabi alan yok. Sonra aynı resmin altına Picasso yazıp kendisinin eline veriyoruz ve o da ne? Resim bir servet karşılığı satılıyor. O zaman o resmin hakiki değeri hani?
• Söz gelimi ben dedim ki: "para piyasalarında bu hafta bir çalkalanma olacak ve altın çok değer kaybedecek", malum; kimse takmıyor, ama bunu bir ekonomi uzmanı söylese hemen millet elindeki altını bozdurmaya çalışacak.
• Farazà ben şu sözü söylemiş olsam: "İnsanlardaki önyargıyı kırmak, bir atomu parçalamaktan daha zordur". O zaman tahmin edeceğiniz gibi bu söz tarihe geçmeyecekti. Ama değil mi ki bunu Albert Einstein söyledi; "o dediyse doğrudur" oldu.

İşte bir lütf-u ilahî olarak Matematikte böyle bir tutarsızlık göremezsiniz. Size Karl Frederic Gauss gelse ve dese ki:
"2 den büyük her çift sayı, herhangi iki asalın toplamıdır",
hemen diyeceksiniz: "ispatla bakalım Gauss efendi".
Gauss: "ispata ne hacet ey gafiller, ben diyorum bunu ben, koca Gauss"
deyu haykırsa da nafile. Biz gene ispat isteyeceğiz. Eğer ispatlayamazsa inanmayacağız. Öte yandan bir zavallı lise öğrencisi dikilse karşımıza ve dese ki: "Gauss'un ispatlayamadığını ben ispatladım abey, aha ispatı",
önce eğilecek herkes üstüne, çocuk doğru yapmışsa bu şerefi herkes istisnasız koca Gauss'a değil de küçük çocuğa verecek. Kimse de:
"bir veledin sözüne mi inanacağız!" demeyecek.

Çünkü: "matematikçi ikna etmez, ispat eder; güveninizi beklemez, yalnız dikkat etmenizi ister."

Matematiği büyük yapan, büyüklüğünü, büyük bir isimden değil de kendi büyüklüğünden almasıdır.

Asal Sayılar

Tanım__1:
Asal sayıların klasik tanımı şudur:
1 den ve kendinden başka pozitif tamsayı böleni olmayan pozitif tam sayılar asal sayıdır.

Fakat bu tanım hemen şu soruyu beraberinde getirir:
1 neden asal değildir?

Cevap: Aslında herhangibir asal sayı başka bir asalı tam bölemez. 1 onun için asal değildir (Çünkü 1 her asal sayıyı tam böler). Ancak asal sayıların klasik tanımında bu yok. O halde asal sayıların tanımını, açık bırakmayacak şekilde şöyle yapmak gerekecektir: (bu tanım önerimdir)

__________________________________________

öneri tanım_1: 1 den ve kendinden başka pozitif tamsayı böleni olmayan ve kendinden farklı bir asalla çarpımı yine bir asal sayı vermeyen pozitif tamsayılar asaldır.

__________________________________________

Asal sayılar matematikte bir gelenek olarak genelde p harfiyle gösterilir.

Şimdi gelelim asal sayılarla bazı teoremlere...

Teorem__1: Asal sayılar sonsuz tanedir.
İspat: Asal sayıların sonsuzluğunu M.Ö. 300 yılında Euclides (Öklid); Elements adlı kitabında ispatlamıştır.

Tersine asal sayılar sonsuz olmasın. O halde en büyük bir asal sayı olmalıdır. O en büyük asal sayıya p diyelim. Şimdi de 2 den p ye kadar olan tüm asal sayıları çarpıverelim.

2.3.5.7.11.13.....p=K

olsun. O halde K sayısı tüm asal sayıların katıdır; hepsine tam bölünür. Şimdi K ya bir ekleyelim. Ne olur? K+1.
K+1 sayısı ise 2,3,5,7,11,...,p asallarının hiçbirine bölünmez. Yani bizim başlangıçtaki kabulümüze göre hiçbir asal sayıya bölünmez. O halde K nın asal çarpanları ilk verilen listenin dışındanır. Bu durumda p den büyük asallar da olmalıdır. Bu ise bizim ilk önermemiz ile çelişir.

O halde en büyük asal p değildir. Yani önermemiz yanlıştır ve asal sayılar sonlu değildir.
O halde asal sayılar sonsuz çokluktadır.[]

Şiir gibi değil mi?

devam edecek...