21 Ekim 2009 Çarşamba

eksi ile eksinin çarpımının artı olması, (-1).(-1)=1 ispatı

Matematikle uğraşanların iyi bildiği bir konudan bahsedeceğiz. Eksi ile eksinin çarpımı niçin artı olur?
Teorem: (-1).(-1)=+1
İspat: i. 1.1=1 olduğunu ispatlamaya gerek yok. Zaten bir tane bir, bir eder.
ii. (-1).(-1)=a olduğunu kabul edelim yani biz bu a sayısının kaç olduğunu arıyoruz.
iii. (-1).0=0 olduğu açıktır.
iv. (-1).(1-1)=0 olur...................(madde iii ve 1-1=0 olması gereği)
v. Bir üst maddede (-1) i toplama işlemine dağıtırsak; (-1).(1)+(-1).(-1)=0 elde edilir.
vi. -(1.1)+a=0 olur.......... (madde ii gereği)
vii. -(1.1)=-a => 1.1=a => 1=a => 1=(-1).(-1) elde edilmiş olur........(madde ii gereği a=(-1).(-1) dir).[]

İspat bitmiştir.

Bu ispatı şöyle de yapabiliriz:
(-1).(-1) = cis180.cis180 = cis360 = 1

Bir de şöyle bir örnekle işi somutlaştırıp akla yatırabiliriz:

telefon hattımıza şebekemiz her gün 10 kontör yüklüyor (+10)
biz de her gün 10 kontör konuşup harcıyoruz (-10). Bu durumda her gün, gün sonunda eldeki kontör 0 olur.

Şebekenin her gün yüklemesi +1 dir. Her gün 10 yüklemesi +1.10=10 dur. Mesela 2 gün yüklemesi (+2).(+10)=+20 olur.
Bizim her gün harcamamız da +1 iştir. Her gün 10 harcamamız +1.(-10)=-10 olur vs.

O zaman şebekenin yüklemesi 1 iş ise yüklememesi -1 iştir.
Bizim konuşmamız 1 iş ise konuşmamamız -1 iştir.


Şebeke 2 gün, günde yüklemesi gereken +10 kontörü yüklemese (yani -2 iş yapsa), biz de aynen konuşmaya devam etsek, -2.10=-20 kontör elimizde kalır.

Şebeke yüklemeye devam etse, ancak biz iki gün, konuşmasak (-2 iş) yani harcamamız gereken (-10) kontörü harcamasak, elimizde +20 kontör kalır. Yani (-2).(-10)=+20 olur.

Hiç yorum yok: