26 Mart 2008 Çarşamba

0,99999... = 1 üzerine

Devirli ondalık sayılarda pek çok öğrenci hatta öğretmen, 0,9999... değerini 1 den küçük zanneder. Zaten öğrencilerin böyle sanmasının nedeni de bu gibi öğretmenlerdir. Aslında 0,9999... devirli sayısı, hiç şüphe götürmeyecek şekilde 1 e eşittir. Yani bundan zerre kadar şüphe eden sonsuzluk kavramını ve matematiği gerçek manada kavrayamamıştır ve daha formül ezberleme aşamasındadır. Gerçi 0,9999... sayısının 1 den çok çok çok az küçük olduğunu, yani 1 olmadığını size ispatlamaya çalışan matematikçiler (!) görebilirsiniz bazen tabi ki ve size bu teoremlerini (!) ispatlarlar bile. İspatlarken yüz mimiklerini, vücut hareketlerini kullanıp, demagoji yöntemleriyle aklınıza yatıramadıkları zaman ise sesini yükseltme, sizinle dalga geçme, gerekirse "höt zöt" türünden küçük korkutmalar yöntemini ve en son "sen benden daha mı iyi bilcen lan" yöntemini kullanarak teoremlerini ispatlama çabasına girerler.

Tabi güzel MATEMATİKimizde böyle ispat yöntemleri yoktur. Teoremin ispatı aşağıdadır. İspat gayet, kısa, anlaşılır, şüphesiz ve estetik. Artık bundan sonra kim "0,99999... = 1 değildir, bu bir kabuldür" derse bilmeli ki matematikte öyle kabul olmaz. Buradaki kabul, bunu 1 den gayrı sayanın matematikçi kimliğinin zayıf kabul edilmesinden ibarettir.

Soru 1:

Cevap: Bu sorunun cevabı hiç bir şek ve şüphe olmaksızın 1 dir. 0 diyen matematikte sonsuzluk kavramını anlayamamıştır.

Soru 2:



Çözüm sağdadır...
Şimdi çözümden takip etmişsinizdir. x=4 elde ediyoruz. Yani o kesirin tam değeri 4 tür. Buna "yaklaşık" demek, kabul demek matematiği hançerlemektir.

Aynı mantık sonsuz kökler için de geçerlidir. Ayrıca serilerde de çıkan sonuçlar asla ve kat'a yaklaşık sonuç değildir. Tam sonuçtur ki aksini iddia eden matematikten anlamadığını iddiaetmektedir de farketmemektedir.

Bu arada çok sevgili Matematikçi abimiz Şamil Akçagil Hocamız da meseleyi teyid etmiş üstelik aşağıdaki bilgileri de eklemiştir ki kendisine teşekkür ediyorum.
Burada birinci limit 0 dır. İkincisi ise 1 dir. Sebebi aşikar olduğundan okuyucuya bırakolacaktı ancak hadi açıklayalım. 1. limit dışarda, içerde 0 ın sağında sonlu sayıda 9 var. o halde tamdeğeri 0 dır. 0 ın limiti 0 dır. 2. limitte ise n sonsuza gittiğinden, 0,9999... devirlisi elde edilir ki bu 1 dir. 1 in tam değeri de 1 dir.

Şamil Akçağıl, aşağıdaki soruyu sormaktadır: (O cevabını biliyordur. Herhalde bizim bunu öğrenmemizi istiyor. Gerçekten ilginç bir durum.)


devam edecek...

9 yorum:

An dedi ki...

9.9 - .99 = 8.91 <> 9
9.99 - .999 = 8.991 <> 9
9.999 - .9999= 8.9991 <> 9
9.9999 - .99999= 8.99991 <> 9

peki

8.999... = ? 9 nerden cikti?

sen .9999... = ? 1 ispati icin yola ciktin ve
8.999... = ? 9 pesinen nasil dogru varsyadin a be susak?

lutfen kaba tabirimi mazur gor ancak az bile soyledim.

Adsız dedi ki...

0,9999.... <> 1 dir.


(1-1/N) sayisi N->sonsuz icin limitte bire yaklasir. Asla bire esit olmaz! Yaklasma baska, esit olma baska.

(1-1/N)sayisini N defa kendisi ile carpalim. Eger (1-1/N) tam olarak bire esit olsa idi netice bir cikmaliydi.

Ancak,
(1-1/N)^N sayisi limitte N->sonsuz icin 1/e sayisina yaklasir, yani sifir ile yarim arasinda bir netice vermekte.


Sonsuzda birin lafi mi olur zannedip, zarif ispat yapiyorum diye duygusal olarak kendini aldatip sacmalamaktasin!

Aklini kullanmadan kibirlenirsen iste boyle oluyor. Bu senin azgin nefsine ders olsun vesselam.

Saglicakla

devlez dedi ki...

Cümle aleme ibret olsun diye yukarıdaki yorumları silmiyorum.
Ve cevaplarını veriyorum:

1)An adlı şahıs yine deneme yanılma yöntemni kullanarak başlamış denemeye. 9,9-0,99=8,91 bulmuş. sonra devam etmiş. Arkadaşım ispat denemeyle olmaz. Yani şunu demişsin; "Abi ben denedim, birinci adım 9 dan küçük 10. adım küçük, ... 100. adım küçük, o halde 8,9999... 9 olamaz".
Abicim matematikte yüz milyonuncu adımı bile göstersen bu ispat değildir. Tüme varım öyle olmaz. Matematkçi bir tanıdığın var mı senin? Matematite denemeyle ispat olmayacağını öğren.

2) İkinci yorum yapan arkadaş demiş ki:"N sonsuza giderken limitte bire yaklaşır". Limit ne demek söylesene bana. Limit zaten yaklaşma demek. "Limiti tam birdir demek, tam bire yaklaşıyor demektir". Sen şunu demiş oldun:"N sonsuza giderken yaklaştığı yer bire yaklaşır". Bu ne?

Azgın nefsim ayrı konu da, bunları sizin ebediyen anlayamayacağınızdan endişeliyim. Çünkü amacınız üzüm yemek değil bağcıyı dövmek. Yalnız bağcı sizin gibi 50 tane adama kafa tutar haberiniz olsun. Bazı şeyleri öğrenmeden çıkıp matematikte binlerce yıldır yerleşmiş ispatlardaki yanlışlıkları fark eden süper zekalar olmadığınızı bilin. Yalnızca ihtiyacınız olan şey komik olmamak. Komik coluyorsunuz dikkat edin.

akcagil dedi ki...

Fatih Hocam buraya resim nasıl ekleniyor. Bir türlü beceremedim

devlez dedi ki...

Şamil abi. Yorumlar kısmına resim eklemek mümkün olmuyor.
Ama siz gönderirseniz ben resmi üst tarafta size atıf yaparak yayınlayabilirim. mveraunnehir@yahoo.com
Bu arada sizi bu sitenin yazarı yapsam. Sizin kumanda panelinizde maveraunnehir sitesi çıkacak. Sizin gönderdiğiniz yazıları da ben ana sayfanın altına yerleştireceğim. O zaman resim de ekleyebilirsiniz.
Yazılar "gönderen akçagil" diye çıkacak.
İstifade etmiş oluruz. Uygun görürseniz.

devlez dedi ki...

Bir de şöyle bir yol var.
ozmaveraunnehir.maveraunnehir@blogger.com
adresine göndereceğiniz her mail taslak olarak kaydedilecek. Ben onu ana sayfanın altına gelecek şekilde yayınlayacağım. Ama yayınlaması için benim onayım gerektiğinden hemen yayınlanmayabilir. En kısa sürede yayınlarız.
Dosya olarak gönderdiğiniz resimler bu yazıda çıkabilir. Resimleri ben uygun yerlere yerleştiririm.

devlez dedi ki...

Bu arada Şamil Abi bu son probleme çözüm düşünüyorum. Daha bulamadım.

Unknown dedi ki...

Sonsuzu sonsuzdan cikarip zaten buldugun sonluyu sonlu ile baglayip sonsuz ile baglamis gibi gosteriyorsun. Elma ile armut karsilastirilmaz. Buyuk ihtimal bunu yaparken yaptiginin farkinda degilsin. Yanlis, otur 0(sifir) 😄

Adsız dedi ki...

İlkokula giden kardeşim görüp de kanmasın diye bırakıyorum bu yorumu:D hatayı sen en başında yapmışsın zaten aynı denklemi bir sayıyla çarpıp genişletip, sonra aynı denklemi genişletiğin denklemden çıkarmışsın burada ulaşabileceğin tek sonuç yine aynı denklem olur. yani
x=1/9 olsun, 10 ile genişletirsek
10x=10/9 şimdi senin yaptığın şeyi yapıp ilk denklemi çıkarırsak,
- x=1/9 buradan sonuç,
9x=9/9 yani x=1/9 aynı denklem

Sen, sonsuza giden bir sayıyı 10 ile çarpıp ortaya bir sonuç çıkaracak kadar aptalıkta zirve yapmışsın .İnşallah öğretmen olmamış sındır :D