1 Aralık 2007 Cumartesi

0! = 1 Olmasının sebebi

0! = 1 dir. Ama neden?

Teorem: 0! = 1
İspat: Önce faktöriyeli tanımlayalım. Faktöriyelin tanımı n eleman N için n!= 1.2.3.....n değildir.
Bu ifade faktöriyelin n>=1 olan doğal sayılar için bir sonucudur.


Asıl tanım şudur:
n! = {n elemanlı bir kümenin elemanlarının farklı sıralama sayısı} dır. (Burada n in doğal sayı olduğu aşikar).
Dolayısıyla;
0! = {0 elemanlı bir kümenin elemanlarının farklı sıralama sayısı} = 1 olur. []

Yani faktöriyel tanımı permütasyon ile yapılır. Permütasyondan bağımsız hiçbir tanımlama ile
0!=1 olduğunu gösteremeyiz.

devam edebilir...

7 yorum:

Adsız dedi ki...

ben 0! in 1 olduğunu işlemle ispatladım email adresim emreakin75@hotmail.com

akcagil dedi ki...

Bence 0!=1 olması "0! = {0 elemanlı bir kümenin elemanlarının farklı sıralama sayısı} = 1 olur" şeklinde bir açıklama ile tam açıklığa kavuşmuyor. Bu açıklamaya itiraz edilebilir. Zaten ortada eleman olmadığına göre nasıl sıralamadan söz edebiliriz.Olsa olsa bu açıklamaya göre 0!=0 olması gerekirdi. 0!=1 olması bence bir denk gelme. Yni bi zorunluluk. Permütasyon ve kombinasyonda işlemlerin tutarlı olması için 0!=1 olması gerekiyor. Ayrıca Gamma Fonksiyonu ile negatif tamsayıların hatta kesirlilerin bile faktöriyelleri tanımlanabilir. O fonksiyon doğal sayılara indirgendiğinde fonksiyon faktöriyel işlemine dönüşür ve 0!=1 olduğu direk sonuç olarak çıkar.

akcagil dedi ki...

Fatih hocam bugün de maveraünnehire takılayım dedim biraz. Selam ve sevgilerimi gçnderiyorum sana sevgili kardeşim.

devlez dedi ki...

Gamma fonksiyonu gerçekten faktöriyeli tam açıklıyor. Yani Gamma fonksiyonunda tanım kümesinin farklı alt kümeleri alınarak faktöriyel benzeri farklı tanımlar yapabiliriz. Örneğin negatif tam sayılar için Gamma fonksiyonunu özelleştirerek adına maktöriyel diyebiliriz. Böyle bir tanımı da ortaöğretim seviyesine uyarlamak için daha basit bir tanım oluşturabiliriz.
Aslında bildiğimiz faktöriyel kavramı için de herhalde olay budur. yapılan n!=1.2.3.....n tanımı n€N(+) olduğunda Gamma fonksiyonundaki değerleri veriyor. 0! için ise "bunu da böyle kabul ediverin" demek icab ediyor. Bu tarz yaklaşımlar ise insanlarda matematiğin gerektiğinde uydurukçuluğa sığındığı şeklinde algılanıyor. Çünkü çoğu bunun temelinde başka şeyler olduğunu bilmiyor.
Bu açıdan Gamma fonksiyonunu referans göstermek isabetlice olmuş. Teşekkür ediyorum.
0 elemanlı bir kümenin elemanlarının kaç şekilde sıralanabileceği ile ilgili olaraksa, "0 denebilir" itirazına katılmak zor. Aslında 0 olmayacağı zaten kullanılmakta olan matematik kurallarından bellidir. Bunun yanında şöyle örnek verilebilir:
Bir polis memuruna şöyle bir görev veriliyor: Bir trenin bütün kompartımanlarına (odalarına) girecek ve odaların içindekilerle birlikte odaların fotoğrafını çekecek. Yolcular fotoğraf çekilirken pencerenin önüne tek sıra halinde sıralanacaklar. o da giriş kapısından tüm odayı alacak şekilde fotoğraf çekecek.
Bu durumda eğer odada 5 kişi varsa 120 farklı şekilde, 4 kişi varsa 24 farklı şekilde, 3 kişi varsa 6 farklı şekilde, 2 kişi varsa 2 farklı şekilde fotoğraf çekebilir.
1 kişi varsa da 1 şekilde çekebilir. Şimdi gelelim 0 kişi olma durumuna. Yani oda boşsa bile bu polis fotoğraf çekmek zorundadır. Çünkü emir böyle. O halde boş odanın da fotoğrafını 1 şekilde çekebilir.
Hikayelere güven olmaz ama müşahhaslaştırmak açısından faydalı olabilir. Zaten matematiksel yollarla da ispatlanan bir konu olan 0!=1 olması için böyle bir hikaye sakıncalı olmaz inşallah.
Esenlikler diliyorum. İlginize teşekkür ediyorum.

akcagil dedi ki...

Yazdıklarıma bakılırsa 0!=0 olmalı demediğim aksine 0!=1 olmalı dediğim zaten anlaşılıyor. Demek istediğim özetle şudur ki: 0!=1 olması durumu "0! = {0 elemanlı bir kümenin elemanlarının farklı sıralama sayısı} = 1 olur" şeklinde bir açıklama ile yapılacaksa bu açıklamadan 0!=1 değil 0!=0 olduğu çıkar.

akcagil dedi ki...

Ayrıca yukarıda verilen kompartıman örneğinde denmiş ki: "Şimdi gelelim 0 kişi olma durumuna. Yani oda boşsa bile bu polis fotoğraf çekmek zorundadır. Çünkü emir böyle. O halde boş odanın da fotoğrafını 1 şekilde çekebilir." ancak burada asıl meseleden sapma olmuş. Fotoğraf öekme meselesi farklı bir olay burda. Elemanların sıralanmasından bahsediyoruz aslında. Madem permütasyonu bir kümenin elemanlarının sıralaması ile açıklayacağız o zaman 0 eleman olduğunda nasıl sıralamadan bahsedeceğiz. Ortada eleman yok ki sıralamaları olsun.

devlez dedi ki...

İşte burada felsefeye döneriz. Örnekler zaten hiçbir zaman güvenilir değildir. Yukarıda da söyledim.