1 Aralık 2007 Cumartesi

Asal Sayılar

Tanım__1:
Asal sayıların klasik tanımı şudur:
1 den ve kendinden başka pozitif tamsayı böleni olmayan pozitif tam sayılar asal sayıdır.


Fakat bu tanım hemen şu soruyu beraberinde getirir:
1 neden asal değildir?

Cevap: Aslında herhangibir asal sayı başka bir asalı tam bölemez. 1 onun için asal değildir (Çünkü 1 her asal sayıyı tam böler). Ancak asal sayıların klasik tanımında bu yok. O halde asal sayıların tanımını, açık bırakmayacak şekilde şöyle yapmak gerekecektir: (bu tanım önerimdir)


__________________________________________
öneri tanım_1: 1 den ve kendinden başka pozitif tamsayı böleni olmayan ve kendinden farklı bir asalla çarpımı yine bir asal sayı vermeyen pozitif tamsayılar asaldır.
__________________________________________

Asal sayılar matematikte bir gelenek olarak genelde p harfiyle gösterilir.

Şimdi gelelim asal sayılarla bazı teoremlere...

Teorem__1: Asal sayılar sonsuz tanedir.
İspat:
Asal sayıların sonsuzluğunu M.Ö. 300 yılında Euclides (Öklid); Elements adlı kitabında ispatlamıştır.

Tersine asal sayılar sonsuz olmasın. O halde en büyük bir asal sayı olmalıdır. O en büyük asal sayıya p diyelim. Şimdi de 2 den p ye kadar olan tüm asal sayıları çarpıverelim.

2.3.5.7.11.13.....p=K

olsun. O halde K sayısı tüm asal sayıların katıdır; hepsine tam bölünür. Şimdi K ya bir ekleyelim. Ne olur? K+1.
K+1 sayısı ise 2,3,5,7,11,...,p asallarının hiçbirine bölünmez. Yani bizim başlangıçtaki kabulümüze göre hiçbir asal sayıya bölünmez. O halde K nın asal çarpanları ilk verilen listenin dışındanır. Bu durumda p den büyük asallar da olmalıdır. Bu ise bizim ilk önermemiz ile çelişir.

O halde en büyük asal p değildir. Yani önermemiz yanlıştır ve asal sayılar sonlu değildir.
O halde asal sayılar sonsuz çokluktadır.[]

Şiir gibi değil mi?

devam edecek...

15 yorum:

Adsız dedi ki...

çok beğendim gerçekten iyi bir çalışma. Şu interneti senin gibi faydalı kullansa milletimiz uzaya çıkardık.

An dedi ki...

siir gibi geldi demissin.
bana maraz gibi geldi.
2 den baslayip asal sayilari sira ile carpsam ve cikan carpim sonucuna bir eklesem, bu bir eklenmis yekun sayi ille de asal midir?
dur deneyelim:
2*3+1=7 yes sakson
2*3*5+1=31 da rus
2*3*5*7+1=211 ya german
2*3*5*7*11+1=2311 evet asal
2*3*5*7*11*13+1=30031 =59*509
2*3*5*7*11*13+1=30031 asal degil!

Carpimda kullanilan en buyuk asal sayi 13 den daha buyuk bir boleni olsa bile, asal sayilari sirasi ile carptigimda cikan sonuca bir eklesem ille de asal bir sayi olmasi icap etmiyor.

siirsel olmayan gariplik surada:
sifir ile bir arasindaki reel sayilar dogal sayilarla bire-bir eslestirilemez yani sifir ile bir arasindaki noktalar sayilamaz deniyor.

hal bu ki secilen S cok buyuk bir sayidan daha kucuk butun pozitif asal sayilarin sayisi ln (s) ile orantili. yani asal sayilar sayilabilir.

ispatlamak zor degil ki:
ikiden itibaren asagida tanitilan itaratif yontemle elde edilen cok buyuk asal sayilar da sayilabilmeli:

itaratif yontem:
birinci sayi=2 al.
aldin.
(*)
onu 2 uzeri yap ve bir cikar.
yildiz adimina git.
misal:
1.adim->2
2.adim->2^2-1=3
3.adim->2^3-1=7
4.adim->2^7-1=127
5.adim->2^127-1=yazmasi uzun bir asal sayi=S5 diyelim.
6.adim->2^(A5)-1=A6

boyle devam eder gider.

bak dikkat et lutfen:
adim sayilarini gosteren rakanlar birer birer artiyor:1,2,3,4,5,6,...
ancak A sayilari sayilamacak kadar hizla buyuyerek artiyor.
Burda bir gariplik yok mu?
sifir ile bir arasindaki sayilar sayilamaz yani dogal sayilarla bire bie eslestirilemez demisler.
Ancak Asal sayilar, dogal sayilarin
tabii logartimasi ile orantili olacak yani dogal sayilardan daha kucuk sayida olcak yerde itarsayonun her bir adiminda sayilamayacak kadar hizla buyuyerek artiyor. Hal bu ki dogal sayilardan
daha az sayida asal sayi var.


imdi: dusun bakalim.

An dedi ki...

yoruma yorum ekleyeyim de eksik kalmasin:
sifir ile bir arasindaki reel sayilarin sayilamayacagini yani dogal sayilarla eslestirlemeyecigini iddia eden ispat yontemi soyle:
________________________
varsayalim ki sifir ile bir arasindaki reel sayilar sayilsin.
o zaman dogal sayilarla eslesecek sekilde su liste olmali:

1->0,000000000
2->0,0000....1
3->0,0000....2
....
....
bir N dogal sayisi->0,00000..10
bir N dogal sayisi->0,5
bir N dogal sayisi->0,7777...7
bir N dogal sayisi->0,999....9<>1
bir N dogal sayisi->1,0000....0=1

simdi yeni bir ondalik sayi teskil edelim:
oyle ki:
ilk ondalik hanesindeki rakam 1. dogal sayi eslemesindeki ilk ondalik rakamdan farkli olsun.
ikinci ondalik hanesindeki rakam 2. dogal sayi eslemesindeki ikinci ondalik rakamdan farkli olsun.
vs...
boylece listede olmayan yeni bir ondalik sayi elde edilir ve sifir ile bir arasindaki sayilarin dogal sayilarla eslesecegi ile celiskili sonucundan eslesemeyecegi yani sayilamayacagi sonucuna varilir.

________________

bu ispata katilamiyorum.
pek cok zayif yonleri var.
ilk hata olmayan ergi yontemi.
yani ilkin bir kabul ile baslaniyor ve kabulun dogru olmadigi ile ispat tamamlaniyor.
arada da bir cambazlik var.

burda asil gariplik surada:
sifir ile bir arasindaki reel sayilar: yazilan ondalik sayilarin hane sayisina H dersek, 10 uzeri H kadar yani 10^H
O halde ondalik sayilarin hane sayisi H, dogal sayilarla eslesir iken 10^H eslesmiyor ce sayilamaz deniyor.
Peki a be mubarek, itartif yontemle elde edilen cok buyuk asal sayilar,
10^H den cok daha hizla buyuyerek artiyor. Hal bu ki asal sayilar sayilabilir.
iste burada durup simdi dusun bakalim.

Adsız dedi ki...

http://www.math.utah.edu/~pa/math/primelist.html

linkindeki ufak asal sayilari kopyala-yapistir ile not defterine yapistir.
not defterinde replace veya degistir ile space yani bosluk ile yildiz yani * ile tumunu degistir

de.
basa 1+ koy.

simdi 1+2*3*5*7.... den begendigin yere kadar isaretleyip,

http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi

linkindeki yere yapistir. 137 den buyuk secimlerin bazilari "uzun zaman" veya "hesap

teknigim yetersiz kusura bakma" yazisi ile hesaplanmiyor. Ancak 31 den buyuk secilen her carpim listesinde sertifikali-tescilli diye ilan edilen asal olan cikmadi.

Yani asal sayilari yan yana carpip bir eklemek, "en buyuk bir asal vardir, daha buyugu

yoktur" yanlis iddiasinin yanlisligini ispat icin kabul edilse bile, buyuk asal sayilar elde

etmek icin cok yanlis bir yontem. Cunku bu metodla elde edilen sayilarin ekserisi asal bile

degil!

Adsız dedi ki...

http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi
linkinde factoris secilince cikan yere yapistiriyorsun.


Ayrica: buraya x^2-1
yapistirsan carpamlarina bile ayiriyor.
^ simgesini shift uc basip space basinca elde edebilirsin.

factoris sayfasinda altta options menusunden C isaretlenirse

-e^(i*pi)
bile hatali da olsa hesaplaniyor.
Netice aslinda bir sayisi olmali. Ancak computer programcisi yaklasik bir diye gosteriyor.

Hakikatte tam olarak birdir.

Ne eksik ne fazla!

devlez dedi ki...

An adlı arkadaşım başarısız bir denemeyle binlerce yıllık Öklid ispatını yıkmaya çalışmış. Tebrik ediyorum. Son 3000 yılın en zeki matematikçisi olmalı bu arkadaş.

Yaptığınız hayati hatalar:
1) deneme yöntemiyle giderek 6. adımdaki 2.3.5.7.11.13+1 sayısının asal olmadığını göstermişsiniz de bunun ispatla bir ilgisi yok. Lütfen 2. maddeyi okuyun.
2) Aslında problem sizin ispat metnini anlayamamanızdan kaynaklanır. İspat metninde "K+1 sayısı asaldır" demiyor. "2,3,...,p şeklinde öngörülmüş tüm asal listesindeki hiçbir asal sayıya bölünmez" diyor. Dolayısıyla "bu listede olmayan başka asallar da vardır" anlamı çıkar. Yani "seçilecek hiçbir asal sayılar listesi, tüm asalların listesi olamaz" demektir bu. Bu da açıkça asal sayıların sonsuz çoklukta olduğunu verir. Herşey net arkadaşım. Bulanık gören sensin.
3) Tabi ki K+1 sayıları çok zaman asal olmaz. Böyle olmamasını Mklidin ispatının yanlışlığını ispatlamakta kullanmaya çalışmanız sizin daha yolun başında olan bir ukala olduğunuzu gösteriyor. (susak lafınız üzerine söyledim yoksa terbiyesizliği bilimin içine sokmazdım. Lakin terbiyesizlik kimsenin yanına kalmamalı.)

Adsız dedi ki...

Oncelikle patavatsiz kabaligim ve susak tabiri icin ozur dilerim. Araya seytan girmesin.

Ukala gibi gorunsem de, deneye deneye anlamaya calisiyorum.
Gulunc olmak, denemeden bir iddiayi hemen kabul etmekten daha iyi degil mi?

Bulanik gormeyi birak, kimilerinin hemen goremedigi husus:
A, herhangibir pozitif asal sayi ise, T sifirdan buyuk bir tam sayi ise, A*T+1 sayisi A ile bolunmez. Bunu anlayinca (lutfen tumden gelerek ispatlayin, tume varimla degil), adim adim izahlarinizla mesele daha da acikliga kavustu. Cok tesekkur ederim.

Sayilabilirlik uzerine dusunmekten lutfen vazgecmeyin.

Ayrica zeka testleri yaptim.
Bazen ortalamanin ustu bazen de orta seker cikti.
Oyle asiri yuksek degil.
Buna sukur.

0,999....9 =? 1 ispatinda kullanılan 8,999...9 =? 9 pesin hukmu icin yaptigim itirazi yoruma cevabin tatmin edici degil.

Net ispata degil, iknaya ve duygusal baskıya açık lafzî bir aciklama olmus.

Bu fasil bitti-bitecek.
Artik cevap veremezsem
lutfen mazur gorun.

Adsız dedi ki...

google da
öklid asal
diye iki ibare yan yana yazip arattim.
www.biltek.tubitak.gov.tr/bulusumvar/bulusum_var.php?proje_id=338

linkinde ayni bizim gibi okudugunu gec anlayan birileri ayni bizim gibi garip itirazlarda bulunmuslar.

Kendilerine gayet nazik ve gayet kibar ve acik izahlar verilmis.

Demek kaba olan birine hemen kabalasmak icab etmez.
En buyuk nimetlere ancak sabredenler kavusur vesselam.

2 den sonsuza kadar tam sayilari carpsak yani faktoryelini alsak, bunun e uzeri sonsuza orani hangi sayiya yaklasir?
cevap: n->sonsuza dogru deger alirken n!/e^n sonsuza yaklasir.

2 den sonsuza kadar asal sayilari carpsak, bunun e uzeri sonsuza orani hangi sayiya yaklasir?
cevap: n->sonsuz icin 2*3*5*...(yani n den kucuk pozitif asal sayilar)/e^n sifira yaklasir.

http://www.math.utah.edu/~pa/math/primelist.html
linkindeki ilk bin asal sayiyi not defterine yapistirip,
space (bosluk) ile yildiz(*) degisimi yapilirsa

http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi
linkinden:
online calculator
Convertisseuse de base
yani sakasonca
base converter
secilirse
2 den 7919 a kadar asal sayilarin carpimini e^7919 bolersek
netice sifira dogru gitmekte.
Précision de calcul
veya saksonca
Computational precision
50
decimal places
isaretlenmeli.

Deneyerek birkac adimda bunun sifira gittigini hemen gorebiliyorum.
Mesela 2 den 101 e, 2 den 1009 a vs birkac denemede.
Denemek matemetikcilerin baslangic adimi degilse, direk olarak hemen ispatlamadiklari durumlarin sonucunu niye merak edip beklesinler. Hilbert Zeta diye icad yapmis. insanlar deneye deneye, denemeye halen bikmiyor. Ancak bir-kac bilen mustesna acik ispati verebilen cikmadi. Tabii ki deneme sonucu asla net ispatlar gibi degildir ancak cogu zaman fikir verir. Denemek o kadar da kotu degildir.

2 den sonsuza kadar tam sayilarin carpimi
vardir ve gecektir. Bu sonsuzun faktoryeli diye kisaca isimlendirilebilir.

Bir seyi cok merak ettim: 2 den sonsuza kadar asal sayilarin carpimina bir eklesek (veya bir cikarsak) neticede cikan sayi, carpimda kullanilan hic bir asal sayiya bolunmez. O halde boyle bir carpim var midir? Boyle bir carpim 2 den baslayip giderek arttirilarak, asal sayilari carpma ile sonsuz adimda olusturulabilir mi? Gercek midir?

devlez dedi ki...

Öncelikle ben de kabalık ettiğim için özür dilerim. Bir anda oldu işte kusura bakmayın. Araya şeytan girmesin evet.
Verdiğiniz değerli bilgiler için teşekkür ediyorum.
Tabiki deneme matematikçiler için bir fikir kaynağıdır. İspatlanması gerekli görülen teoremi önceden sezme yoludur. Çok güzel ifade etmişsiniz siz de. Ancak ispat elbette değildir. Kimse "ben denedim ve ispatladım" diyemez matematikte. Yani bu konuda hemfikiriz.
Ortak bir tabanda buluştuktan sonra mantık çerçevesinde her şeyi irdeleyebiliriz.
Yazdıklarınızı düşüneceğim. Sorduğunuz son soru bana çok ilginç geldi. 2 den sonsuza kadar tüm asalları çarpsak ve bu çarpıma 1 eklesek çarpımdaki hiçbir asal sayıya bölünmez gibi görünüyor. Ancak burada sanki "çok büyük ve sonsuz" kavramlarını birbirinden ayırmalıyız. Bir sayı çok çok çok çok büyük olabilir. Bu sayı sonsuz değildir. Sonsuz da çok çok çok büyük bir sayı değildir. Hatta sonsuz reel sayı kabul edilmez ki bu boş bir inanış değil. Sonsuz, bir ifadedir. Sadece bir sıralamanın en büyük teriminin olmadığının ifadesinden ibarettir. Mesela "Doğal sayılar kümesi + yönde sonsuzdur" ifadesinden "Doğal sayılarda kimse, en büyük sayı aha budur iddiasında bulunamaz" anlamını çıkartmalıyız. Kesinlikle "doğal sayıların en büyük terimi sonsuzdur" ifadesi anlaşılmamalıdır. Doğal sayıların en büyük terimi olmadığı için zaten küme sonsuz terimlidir.

Burada anlatmak istediğim, sonsuzun bir reel sayı değil de bir ifade olduğu. Yani reel sayı kümesinde yer almayan bir elemana 1 eklediğimizde yine reel sayılar kümesinde olmayan sonsuz çıkar karşımıza. Yani bir eklesek de eklemesek de o aynıdır. Hah işte reel sayı kümesinde olmayan bir sayı tabi ki doğal sayı da değildir. Bu bakımdan çarpanlarına ayrılması, pozitif bölenlerinin aranması düşünülemez kanaatindeyim.

Biz sanki sonsuzu bir sayı gibi düşünmek istidadındayız. Bu yaradılışımız gereğidir. benim için 5, 15, 79, 100000000000000000000000000000000 sayıları birbirinden farksızdır. Ama sonsuz hiçbirine benzemez.
Hülasa; sıradan bir reel sayı ile sonsuz arasındaki ilişkinin yansıması yaratılan (kul) ile Yaratan (Allah) arasında vardır. Yaratan'ı yaratılanlarla kategorize edemememizin matematik dilinde (çoğu kişice farkedilemeden) ispatı gibidir sonsuz. (Allah'ın isimlerindeki ifadeler sonsuz değil midir?)

Yukarıdaki söylediklerim felsefi şeyler. Bazıları göreceli görebilir. İyi anlaşılsın diye anlattım. Öyle düşünüyorum.

Sorunuzun cevabını verdim diyemiyorum. Ancak özetle diyorum ki: Sonsuz; bir reel sayı olmadığından, sonsuz hakkında öyle şeyler düşünülemez gibi geliyor bana.
Takdir sizin.
Şu anda askerlik görevimi yapmakta olduğumda haftada bir internete girebiliyorum. Geç cevap verebildiğim için kusuruma bakmayınız.
Selametle kalın. Bu güzel sohbetiniz için teşekkürler.

akcagil dedi ki...

1 in asal olarak kabul edilmemesi tamamen bir uzlaşıdır. Yani adeta matematikçiler bir araya gelip 1 i asal kabul etmeyelim demişler ve bu şekilde bütün kitaplarda asal sayı tanımı verildikten sonra asal sayılar kümesine 1 dahil edilmemiştir. Oysa 1 asal kabul edilse de hiçbir şey değişmez. Ancak bazı gösterim ve formüllerde kolaylık sağlaması açısından 1 in asal kabul edilmemesi yerindedir.

devlez dedi ki...

Teşekkür ediyorum Şamil Abi. Yeni göreviniz hayırlı olsun.
İşaret buyurduğunuz gibi, 1 in asal olmaması uzlaşısına dayanarak, "kendinden ve birden başka pozitif tam böleni olmayan pozitif sayılar" tanımı dramatik olarak 1 i de içine alır. Eğer 1 in asal olmaması konusunda uzlaşıyorsak, tanımı da 1 i kapsamayacak yalınlıkta yapmalı. Bu açıdan yukarıdaki acizane öneriyi dikkate almak lazım.

yalnız "1 asal kabul edilse bir şey değişmez" demişsiniz. Bunu bir tartışmak gerekir.
Örneğin asal sayılarla ilgili bazı formüller var. Pozitif tam bölen sayısı buluyoruz. Asal bölenlerin kuvvetlerini birer arttırıp çarpıyoruz. 1 i asal kabul etsek bu tip formüllerin hepsi fiyasko olurdu. Mesela 60= (2^2).(3^1).(5^1) diyoruz. Şimdi 1 de asal olsa idi 60=(1^?).(2^2).(3^1).(5^1) demek zorunda kalacaktık. Burada ? yerine herşey yazılabilecekti.
Bir diğer nokta, bence 1 asal sayı olsa idi başka hiçbir doğal sayıya asal denemeyebilirdi. Çünkü diğer doğal sayıların hepsi de 1 asalının katları olacaktı. Böyle bir durum sayılar teorisini temelden sarsacak kadar tehlikeli olur.
Başka sebepler de sayılabilir.
Yani bence 1 in asal olmaması bir kabuldür evet. Ama bir gereklilikten (tutarsızlıklardan kaçma gerekliliğinden) doğmuş bir kabuldür. Tamamen masa başında 1 e gıcıklık olsun diye yapılmamıştır. Hatta şunu ifade edeyim, kimseyi bağlamaz ama, bir inanç meselesi olarak ben 1 in gerçekte asal kabul edilemeyeceğine inanıyorum. Bu inancımın sebeplerini de yukarıda anlattım.
Her ne kadar kusur ittü isek affola.
Selam ve muhabbetle çok muhterem Şamil Abi...

akcagil dedi ki...

Teşekkür ederim Fatih hocam. 1 asal kabul edildiğinde bazı ufak problemlerin oluşacağını ve formüllerin sonuna sürekli +1 -1 gibi ekler getireleceğini kastederek "bazı gösterim ve formüllerde kolaylık sağlaması açısından 1 in asal kabul edilmemesi yerindedir" demiştim. 1 asal kabul edilse sayılar teorisinde neden büyük bir tehlike olsun ki. Şu anda olan her teoremin başına o zaman 1 haricinde falan derdik. Yani yine ek notlar getirip problemi aynen soracaktık. 1 in asal kabul edilmemsi sizin de dediğiniz gibi kıllık olsun diye değil de aslında bir tutarlılıktan dolayı. Tıpkı 0!=1 olması gibi.

akcagil dedi ki...

Ayrıca:
Ciddi sayılar teorisi kitaplarında asal sayı tanımı şu şekilde verilir: a>1 tamsayısının pozitif tamsayı bölenleri kümesi {1,a} ise a asaldır denir.
Yani aslında 1 in asal olup olmadığı ile kimse ilgilenmez bile.

devlez dedi ki...

Evet 1 dışında demek zorunda kalacaktık. O kadar çok 1 dışında diyecektik ki sonunda "ya bu 1 i kim asal yapmış?" noktasına ulaşacaktık.
Verdiğiniz tanım ise gayet makul ve efradinı câmî, aüyârını mânî bir tanımmış.
Esenlikler.

devlez dedi ki...

Düzeltme:
"Efrâdını câmî ağyârını mânî"