Rasyonel Sayılar

Rasyonel sayılar kümesi büyük Q harfinin soluna bir çizgi çekilerek gösterilir. Soluna çizgi çekme imkanı yoksa (buradaki gibi) kalın punto ile yazılır.
Rasyonel sayılar, tanım:
Q={x: x=(a/b), a,b € Z} , yani; a ve b tamsayı olmak üzere, a bölü b şeklinde ifade edilebilen sayılara rasyonel sayı denir.

teorem1: Ardışık iki tamsayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır.
ispat: 0 ve 1 tamsayılarını alalım. 0 ve 1 arasında sonsuz tane basit kesir olduğunu ispatlarsak, o ve 1 arasında sonsuz tane rasyonel sayı olduğunu ispatlamış oluruz. (Çünkü basit kesirler rasyonel sayıdır ve 0 ile 1 arasındadır).
Bunun için n>0 ve n tamsayı olmak üzere n/(n+1) kesirini alalım. n yerine yazılacak sonsuz tane tamsayı için n/(n+1) kesiri basit kesirdir. O halde 0 ile 1 arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır.
k>0 ve k tamsayı olmak üzere; bulduğumuz her n/(n+1) sayısına k=1,2,3,4,... sayıları eklenerek, (1,2), (2,3), (3,4), ... (k,k+1), ... aralıkları arasında da sonsuz tane rasyonel sayı olduğu ispatlanmış olur.[]

teorem2: Farklı iki rasyonel sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır.
ispat: a,b,c,d € Z olmak üzere a/b , c/d rasyonel sayılarını alalım.
Bu sayıların paydalarını eşitleyelim, böylece a.d/b.d ve c.b/b.d rasyonel sayıları elde edilir.
i) a.d=c.b (paylar eşit) ise bu iki rasyonel sayı eşittir ki bu durumda bu sayılar farklı olmadığından teoremin metninde ifade edilen durumdan çıkmış olur.
ii) [a.d < c.b ] olsun. Bu durumda a.d ve c.b ardışık değilse, [a.d/b.d]< [(a.d+1)/b.d]< [c.b/b.d] olacağından teorem ispatlanır. ( [(a.d+1)/b.d] sayısı da rasyonel sayıdır)
iii) [a.d < c.b ] ve a.d ile c.b ardışık olsun. bu durumda kesirler 2 ile genişletilir ve [2.a.d/2.b.d]<[(2.a.d+1)/2.b.d]<[2.c.b/2.b.d] elde edilir ki bu durumda da teorem ispatlanır. ( (2ad+1)/2bd rasyonel sayıdır).[]

Teorem1 ile (0,1) aralığında ve tüm ardışık tam sayların arasında sonsuz tane rasyonel olduğunu gösterdik. Teorem2 ile de daha korkunç bir şeyi yani iki rasyonel sayı arasında da mutlaka bir rasyonel sayı olduğunu gösterdik. Teorem2 nin sonucu çok büyüktür. Rasyonel sayıların sayılamaz olduğunu gösterir.
Örneğin 2,27 sayısından sonra hangi rasyonel sayı gelir? sorusunun cevabı asla bilinemez. Cevap 2,28 değildir. çünkü 2,275 sayısı 2,27 den büyük 2,28 den küçüktür. Yanısıra cevap 2,275 de olamaz çünkü 2,27<2,271<2,275. size="1">(bu arada 2,2701 in 2,271 den küçük olduğunu anlayamadıysanız ilköğretim 4 seviyesindesiniz. Bu siteyi terk ediniz :)

Bir Müşkil Mesele: Bu arada bir arkadaş, aklınca farklı iki rasyonel sayı arasında bir rasyonel sayının bulunamadığı bir ters örnek göstererek, teorem2 yi çürüttüğünü zannetmiştir. Şöyle ki:

soru: 0,99999... rasyoneldir, 1 de rasyoneldir lakin 0,9999... ile 1 arasında kimse rasyonel sayı gösteremez. O halde teorem2 yanlış mıdır yoksa?
elcevap: Bu konudan daha evvel bahsetmiştim (bkz: 0,999...=1 konusu), bu arkadaş 0,9999...=1 olduğunu bilmiyor. Bir kere teorem "farklı iki rasyonel" der. Halbuki 0,999... ile 1 aynı sayıdır. Bir sayı ile kendi eşitinin arasında tabi ki başka sayı bulunamaz. Ayrıntılı bilgi için bakınız: 0,999...=1.

İrrasyonel sayılar, tanım:
Rasyonel olmayan ( a,b € Z olmak üzere a/b şeklinde ifade edilemeyen) sayılar irrasyonel sayıdır. İrrasyonel sayıların varlığı milattan önceki yıllarda ispatlanmıştır. karekök(2) sayısının rasyonel sayı olmadığının ispatı, irrasyonel sayıların varlığına yetmiştir.

teorem3: karekök(2) sayısı irrasyoneldir.
ispat: tersine karekök(2) rasyonel olsun.
bu durumda karekök(2) = a/b olacak şekilde a ve b, aralarında asal tamsayıları vardır...........(1)(aralarında asal olmasa bile, aralarında asal oluncaya kadar sadeleştirilebilir)
eşitliğinin her iki tarafının karesini alırız:
2 = (a^2)/(b^2)
2.(b^2) = (a^2) ................................(2) ye göre a^2 çifttir. a da çifttir. Çünkü ancak çift bir sayının karesi çifttir. Her tarafı 2 ile bölersek:
(b^2) = a.a/2 ....................................(3) e göre a/2 tek bile olsa diğer a çarpanı hala çift olacağından eşitliğin sağı çift bulunur. Bu durumda solu da çifttir.
b^2 çiftse b de çifttir ........................(4)
madde (2) ve (4) e göre a ve b çifttir. O halde aralarında asal değillerdir. Bu ise madde (1) ile çelişir. O halde karekök(2) nin rasyonel olması önermesi yanlıştır. karekök(2) irrasyonel sayısır.[]

Kök dışına çıkmayan her sayı, pi, e (logaritmadaki) gibi sayılar irrasyoneldir.
Devirli ondalık sayılar rasyoneldir, çünkü a/b şeklinde ifade edilebilirler.
İrrasyonel sayılarda virgülden sonraki kısım herhangibir sistematiğe bağlı olarak sürmez.
Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşim kümesi Reel sayılar olarak adlandırılır ve çift çizgili R ile gösterilir.