7 Kasım 2007 Çarşamba

Karmaşık Sayılar Kutupsal Biçimde Toplama

Normalde kutupsal biçimde çarpma, bölme, üs alma, kök alma ve sayı döndürme çok kolay yapılabilirken toplamada böyle pratik bir çözüm yoktur. İşte bu işlemleri yapmak için şekil çizmenin gücü ön plana çıkar. Karmaşık sayılar dik koordinat düzleminde başlangıcı Orijin olan birer vektör belirtir. Onun için de fizikteki vektör toplamını aynen sağlarlar. Yani uç uca ekleme yöntemi kullanılabilir.

ÖRNEKLER:

örnek 1: Arg(1 + cis40)=?
çözüm:
Bu sorunun uzun ve sıkıcı çözümü şudur:
1=cis0 => cis0 + cis40 = cos0 + i.sin0 + cos40 + i.sin40
= (cos0 + cos40) + i.(sin0 + sin40).................(Dönüşüm formülleri uygulanır)
= 2.cos20.cos(-20) + i.(2.sin20.cos[-20])...........(cos içindeki eksiyi yok eder)
= 2.cos20.(cos20 + i.sin20)..................................(2.cos20 parantezine aldık)
= 2.cos20.cis20
Bu en son noktada 2.cos20 bir reel sayıdır. o halde sayının kutupsal koordinatları (2.cos20 , 20) dir yani Arg(1 + cis40) = 20 dir.

Sorumuzu dönüşüm formülü kullanmadan (çok daha kolay olarak) şöyle de çözebiliriz:




(Şekil - 1) de cis40 ve 1 karmaşık sayılarının kutupsal gösterimi var. 1=cis0 karmaşık sayısını alıp vektör toplama mantığıyla cis40 ın ucuna ekliyoruz. Böylece (Şekil - 2) deki eşkenar dörtgende açık mavi çizgi ile gösterdiğim 1+cis40 karmaşık sayısının görüntüsü, (köşegen olduğu için) 40 dereceyi ikiye böler. Yani
Arg(1 + cis40) = 20 olduğu görülür.[]


Şimdi buradan 1+cis80 in argümentinin 40 derece veya 1+cis70 in argümentinin 35 derece olduğu görülerek bu çözümü her seferinde yapmamız gereksiz diye düşünebilirsiniz lakin durum öyle değil. Lütfen aşağıdaki soruları da inceleyin:


örnek 2: Arg (cis70 - 1) = ?

çözüm: Bu sorunun çözümünde artık ezber sökmez. dönüşüm formülleri de uzun ve sıkıcı olur. O halde sizi o güzel çözümle başbaşa bırakayım:
-1 = cis180 olmak üzere; (şekil - 1) deki cis180 i cis70 in ucuna ekleyerek, vektör toplamıyla (şekil - 2) deki sonuca gidilir.



.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

Böylece Arg (cis70 - 1) = 70 + 55 = 125 derece bulunur.[]
.
örnek 3: Arg(cis20 - i) = ?

çözüm:
Bu sorunun da çözümünde aynı mantığı kullanıyoruz. Öncelikle
-i=cis270
olduğunu bilmeliyiz. Buna göre bildiklerimizi koordinat sisteminde çizersek, çözüm aşağıdaki gibi bulunur:



.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Vektörel toplamayla sonucu yine kusursuz olarak bulduk.[]
.
örnek 4: z = cis15 + cis75 olmak üzere; Re(z) + Im(z) = ?
çözüm: Verilenleri yine önce (Şekil-1) deki gibi koordinat sistemine yerleştiriyoruz.
(Şekil-2) 'de vektör toplamasını yapıp,
(Şekil-3) 'de de oluşan sayının reel ve imajiner koordinatlarını belirleyip çözüme gidiyoruz:


çözüm bitti.[]

örnek 5: Z = 3cis50 ve w = 2cis170 karmaşık sayıları arasındaki uzaklık kaç br dir?

çözüm: (Şekil - 1) deki gibi verilenler şekle dökülür ve (Şekil - 2) de görüldüğü gibi Kosinüs Teoremi kullanılarak çözülür:

böylece çözüm biter. []

devam edebilir...

4 yorum:

Adsız dedi ki...

3cis40+4cis80=?

devlez dedi ki...

<3cis40+4cis80=?>

Soru bir kaynaktan mı?
Yoksa kendiniz mi yazdınız?

Adsız dedi ki...

çok tesekkur ederim bu yontem dershanede cook işime yarıcak...

Adsız dedi ki...

3cis40+4cis80
sorusunu çözümü için yardımcı olurmusunuz