21 Kasım 2009 Cumartesi

İsrafil'in Suruna Bir Açıklama

Şamil Abinin gönderdiği eğitici soru (hacmi sonlu, alnı sonsuz cisim: İsrafil'in Suru) üzerine bir açıklama denemesi yapmak istedim. Doğru yapamadıysam nasıl olsa Şamil Abi uyarır dedim.

Şimdi öncelikle bu İsrafil'in Surunu gerçekten çok etkileyici buldum. İlk anda çok şaşırtıcı hatta şok edici geliyor.
Mantıklı açıklamasına gelince; şuradan başlayalım.

Bir sonlu yüzey parçasının içerisine sonsuz çoklukta kesişmeyen eğriler çizilebilir.

Bunun ispatı için bir dikdörtgen alırız. Bu dikdörtgenin alanı 2 br2 olsun. Bu dikdörtgenin sınırını çıkaralım. Alan yine 2 br2 olacaktır. Bu işlemi sonlu sayıda tekrar etsek (örneğin milyonlarca kere) alan yine 2 br2 olacaktır. Halbuki her keresinde 6 br uzunluğunda bir eğriyi bu 2 br2 lik alandan çıkarıyoruz.

O halde a ve b sonlu sayı ise, a br2 – b br = a br2 olacağını söyleyebiliriz.

Yani sonlu bir alandaki noktalardan sonsuz uzunluktaki bir eğrideki noktalara örten bir fonksiyon tanımlanabilir.

O halde aynı durum bir üç boyutlu cismin yüzeyi için de geçerlidir. Yani sonlu bir hacimdeki noktalarından, sonsuz bir yüzeyin noktalarına tanımlanan bir fonksiyon örtendir.

Bu durumda ne kadar küçük olursa olsun bir miktar boya ile sonsuz bir yüzey boyanabilmelidir. Örneğin 0,0000000001 br3 hacminde bir boyamız olsa, bununla bütün dünyanın yüzeyini, hatta eğer ister isek bütün güneş sistemindeki cisimlerin de yüzeyini boyayabiliriz.

Özetle;

  1. sonlu bir eğriden sonsuz noktaya,
  2. sonlu bir yüzeyden, sonsuz eğriye,
  3. sonlu bir hacimden, sonsuz yüzeye örten fonksiyonlar tanımlanabilir.

Burada sonlu hacimden (İsrafili Surunun hacmi π br^3) sonsuz alana örten fonksiyon tanımlanabilmesini, sonlu hacimli boyanın sonsuz alanlı yüzeyi boyaması olarak anlıyoruz.

Ancak aşağıdaki yorumlarda da takip edeceğiniz üzere, sorunun cevabının bu olmadığını Şamil Hocamız söylemiştir.
Bu durum aslında yukarıdaki çözümde bahsettiğimiz boyanın 0 br kalınlıkta olmasından kaynaklanıyor. Yani aslında hiç bir boya bir yüzeye sürüldüğünde 0 kalınlık olmaz. Yani bir yüzeye sürülen bir boyanın mutlaka bir kalınlığı vardır. Bunu göz önüne alarak bir çözüm daha göndermiştim. O çözüm yorumlarda var. Şamil hocamız bu çözümü kabul etmiştir çok şükür. Onu aynen yazıyorum:
"Boyanın kalınlığına a>0 diyelim.
Bu durumda israfilin suru üzerinde x-ekseninde sonsuza doğru giderken; seçilen her a>0 için, surun çapının a dan küçük olduğu bir x noktası bulunabileceğinden, böyle (kalınlığı olan) bir boya ile surun x noktasının sağında kalan yüzeyi boyanamaz. Yani sonsuz kısmı boyanamaz."

Sorunun aslı şu linktedir: Hacmi sonlu, yüzey alanı sonsuz olan şekil.
Şamil Abinin çözümü zaten hazırdı. O da tam çözümü yayınladı. O da işt bu linktedir: İsrafilin Suruna açıklama

7 yorum:

devlez dedi ki...

Yani yukarıdaki açıklamayı gönderdim. Ama bu açıklama doğru mudur?
İspata muhtaç mıdır?
Yoksa bu gerçekten bir paradoks muydu?
Bana değil gibi geldi.

Akçagil dedi ki...

Cardinalite bir kümenin eleman sayısının bir ölçüsüdür. Örneğin 1 elemanlı bir kümenin cardinalitesi 1, 2 elemanlı bir kümenin 2, n elemanlı bir kümenin ise n dir. Bir A kümesinin cardinalitesi |A| ile gösterilir. Doğal sayıların cardinalitesi rasyonel sayıların cardinalitesine eşit, reel sayıların cardinalitesinden küçüktür. İki kümenin elemanları arasında bire bir eşleme yapılabilmesi için iki kümenin cardinalitesi aynı olmalıdır. Yani bir doğru üzerindeki noktalar A kümesini, bu doğrunun altındaki alanı oluşturan noktalar B kümesini oluşturuyorsa, bu noktalar arasında bire bir eşleme yapılabilmesi için |A|=|B| olmalıdır. Oysa Cantor gösterdi ki bir alanın cardinalitesi bir doğrunun cardinalitesinden büyüktür. Nokta sayısı daha fazladır. Noktalar arasında birebir eşleme yapılamaz. Buna göre sonlu alandaki noktalar ile sonsuz uzunluktaki noktalar arasında birebir eşleme yapılamaz.

devlez dedi ki...

E o zaman bire bir eşleme yapamasak bile, Cantor'un gösterdiği alanın cardinalitesinin doğrunun cardinalitesinden büyük olmasına dayanarak bu problem çözülebilir. Bir alandan doğruya örten bir fonksiyon tanımlanabilir o halde. Ve hacimden de alana.
Bire birlik değil de örtenlik önemli burada herhalde. Yani sonlu bir hacimden sonsuz bir alana tanımlı örten bir fonksiyon olabiliyorsa, ki cardinalitesi büyük olduğuna göre öyle olması gerekir, sonlu hacimli boya ile sonsuz alan boyanabilir demektir.
Doğru yolda mıyım?

Akçagil dedi ki...

Boyanamaz. İşte sorun burada. Neden boyanamıyor? İçini doldurabilecğimiz kadar boya ile yüzeyini neden boyayamıyoruz? Fatih Hocam cardinaliteye falan girmeden basit bir aöıklaması var.

devlez dedi ki...
Bu yorum yazar tarafından silindi.
devlez dedi ki...

Bu arada sanıyorum yukarıda bahsettiğim alan sonsuz çıkıyor. Onu düzelteceğim.
Bir de ben boyamayı eşleştirme olarak düşündüm. Yani hacmin bir noktası, alanın bir noktası ile eşleştirilince yüzey alanının o noktası boyanmış saydım. Ancak benim boya bu durumda sıfır hacimli bir boya oldu. Yani hiç kalınlığı yok. Böyle bir boya ile aslında (teorik boya :)) sanıyorum yüzey boyanabilir.
Ancak piyasada böyle boya yok. Yani boya yüzeye sürülünce bir kalınlık oluşturuyor. Yani boyanan yüzeydeki boya kalınlığına a>0 diyelim o zaman.
Bu durumda israfilin suru üzerinde x-ekseninde sonsuza doğru giderken; seçilen her a>0 için, surun çapının a dan küçük olduğu bir x noktası bulunabileceğinden, böyle (kalınlığı olan) bir boya ile surun x noktasının sağında kalan yüzeyi boyanamaz. Yani sonsuz kısmı boyanamaz. Yanlışım var mı Şamil abi?
Ancak tekrar etmek gerekirse, kalınlığı 0 olan boya ile boyanabilir duruyor bu yüzey. Çünkü sizin de dediğiniz gibi cardinalitesi fazla oluyor hacmin. Zaten bu a>0 yöntemi kalınlığı olan boya için geçerli olacaktır heralde.

Akçagil dedi ki...

Evet bravo Fatih Hocam. Olayı yakaladın. Ben de kendi hazırladığım çözümü yayınlayayım.