29 Aralık 2009 Salı

İlginç ve İğrenç Bir Soru

Balıkesir sokaklarında bir yaz günü avare avare dolaştığım güzel bir gün, bir matematikçi abim aradı beni. Tıpkı Sherlock Holmes'e bir dava geldiğinde heyacanlanması gibi ben de bir soru duyduğumda heyecanlanırım. Kulaklarımı dört açtım. Şöyle diyordu : "Pi yayınlarında ilginç bir soru var. Ben bir türlü içinden çıkamadım. Sen de bir bakar mısın " Anlaşılan öğrencinin biri sormuş, O da zor durumda kalmıştı. Pi Yayınları Matematik Soru Bankası ilk çıktığında içinde ipe sapa gelmez bir sürü soru olduğundan öğrencilerim arasında oldukça popüler olmuştu. Öss ile ilgisi olmayan bu tarz kitaplar eskiden oldukça pirim yapardı nedense. Bahsettiği soruya hemen gidip baktım. Şu şekilde idi :

-2 < a < 3 ve -5 < a + b < 6 ise, b aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(a) -8 < b < 2 (b) -8 < b < 8 (c) -2 < b < 8 (d) 0 < b < 8 (e) -3 < b < 3

Burada iç sesime kulak verelim. İlk bakışta bir problem görünmüyor. Klasik olarak şöyle bir bakıp -a nın aralığını oluşturup taraf tarafa toplarsak

-5 < a + b < 6
-3 < -a < 2
-8 < b < 8

bulunur. Buraya kadar bir sıkıntı yok. Fakat oda ne! Cevap olarak (e) şıkkı verilmiş. Acaba cevap anahtarı yanlış mı hazırlanmış. Fakat b nin aralığı (e) şıkkındaki gibi olsa a + b nin aralığı doğru çıkıyor. Fakat şu yıllardan beri yaptığımız çözümden bulduğumuz aralık neden sağlamıyor. Allah Allah... Buna nasıl bir açıklama getireceğiz. Bu kedi ise ciğer nerede, bu ciğer ise kedi nerede?

4 yorum:

devlez dedi ki...

Şindi efendim aynı cinsten bilinmeyenleri yok ederken, eksilisini alıp taraf tarafa toplama yöntemi, sonucu yanlış çıkarmamakla beraber aralığı gittikçe genişletiyor. Yani aslında -8 < b < 8 de doğrudur ama b nin en dar aralığı değildir.
örnek:
-2 < a < 3 ise -4 < 2a < 6 dır. O halde birinci eşitsizliği - ile çarpıp taraf tarafa toplayıp tekrar a nın aralığını bulalım.
-3 < -a < 2
-4 < 2a < 6
+___________
-7 < a < 8

Ne oldu? a'nın aralığı genişledi. Neden? Çünkü aynı cins bilinmeyenlerde mesela a için -a ile +a toplanmaz. Toplanırsa yanlış sonuç vermemekle birlikte en dar aralığı vermez. O halde aynı tür değişkenler için taraf tarafa çıkarma yapılacaktır. Yani yukarıdaki soru için şu yapılmalı idi:
-5 < a + b < 6
-2 < a < 3
-______________
-3 < b < 3

olmalıdır.
Peki - ile çarpıp taraf tarafa toplamayı nerelerde kullanmlaıyız?
el cevap: farklı değişkenlerde. Mesela -1 < x < 5 ve 4 < y < 9 aralıklarını verir. 3x - 2y nin aralığını sorarsa olur.

Akçagil dedi ki...

En dar aralık diyorsunuz. Yani b için -8 < b < 8 aldığımızda b için fazladan değerleri aldığımızı söylüyorsunuz anladığım kadarıyla. Oysa a = -1 alırsak bu soruda verilen
-2 < a < 3 şartına uygundur. Diğer taraftan -3 < b < 3
aralığından olmayan (siz buna en doğru aralık demişsiniz) b = 6 alırsak bu durumda a + b = 5 olur ki bu değer -5 < a + b < 6 aralığını sağlıyor. Problem hala çözülmedi :)

Akçagil dedi ki...

Ayrıca neden aynı değişkenler olduğunda taraf tarafa toplayamayacağımız hakkında bir açıklama yapılmamış. Sahi neden?

devlez dedi ki...

Evet bir açıklama yok hala